Výpočet hlavních napětí při obecné napjatosti

Zadané napětí: ${\sigma }_x=60\mathrm{MPa}$, ${\sigma }_y=-50\mathrm{MPa}$, ${\sigma }_z=20\mathrm{MPa}$, ${\tau }_x=40\mathrm{MPa}$, ${\tau }_y=0\mathrm{MPa}$, ${\tau }_z=-30\mathrm{MPa}$.

Tenzor napětí:

$${\mathbf{T}}_{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_z& {\tau }_y\\ {\tau }_z& {\sigma }_y& {\tau }_x\\ {\tau }_y& {\tau }_x& {\sigma }_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}60& -30& 0\\ -30& -50& 40\\ 0& 40& 20\end{array}\right]\mathrm{MPa}$$

Invarianty tenzoru napětí:

$$\begin{array}{rl}{I}_0& =1\\ I_1& ={\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z=(60)+(-50)+(20)=30\\ I_2& =\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_z\\ {\tau }_z& {\sigma }_y\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_y& {\tau }_x\\ {\tau }_x& {\sigma }_z\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_y\\ {\tau }_y& {\sigma }_z\end{array}\right|\\ & ={\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y{\sigma }_z+{\sigma }_x{\sigma }_z-{\tau }_x^2-{\tau }_y^2-{\tau }_z^2\\ & =(60)\cdot (-50)+(-50)\cdot (20)+(60)\cdot (20)-(40{)}^2-(0{)}^2-(-30{)}^2\\ & =-5300\\ I_3& =\left|\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_z& {\tau }_y\\ {\tau }_z& {\sigma }_y& {\tau }_x\\ {\tau }_y& {\tau }_x& {\sigma }_z\end{array}\right|\\ & ={\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_z+2{\tau }_x{\tau }_y{\tau }_z-{\sigma }_x{\tau }_x^2-{\sigma }_y{\tau }_y^2-{\sigma }_z{\tau }_z^2\\ & =(60)\cdot (-50)\cdot (20)+2\cdot (40)\cdot (0)\cdot (-30)-(60)\cdot (40{)}^2-(-50)\cdot (0{)}^2-(20)\cdot (-30{)}^2\\ & =-174000\end{array}$$

Pro stanovení hlavních napětí musíme vyřešit kubickou charakteristickou rovnici:

$$\begin{array}{rl}\det ({\mathbf{T}}_{\sigma }-\sigma )& =0\\ I_0{\sigma }^3-I_1{\sigma }^2+I_2\sigma -I_3& =0\\ {\sigma }^3-(30)\cdot {\sigma }^2+(-5300)\cdot \sigma -(-174000)& =0\end{array}$$

Pro zjištění kořenů kubické rovnice existuje řada postupů. Jedním z nich jsou např. Cardanovy vzorce, které vyžadují operace s imaginárními čísly i v našem případě, kdy víme, že kubika má všechny kořeny reálné. Pro náš případ existuje implementačně jednodušší řešení, které vytvořili francoužští matematici François Viète a René Descartes.

Obecnou kubiku $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ můžeme přepsat do podoby $t^3+pt+q=0$, kde $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$, $q=\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}$. Kořeny původní a upravené kubiky jsou svázané vztahem $x_k=t_k-\frac{b}{3a}$.

$$t_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-\frac{2\pi k}{3}]\text{pro }k=0,1,2$$

Diskriminant upravené kubiky se vypočítá $D_t=-(4p^3+27q^2)$. Pokud $D_t>0$, původní kubika má tři rozdílné reálné kořeny. Pokud $D_t=0$ a $p\ne 0$, má původní kubika dva rozdílné reálné kořeny (jeden dvojnásobný). Pokud $D_t=0$ a $p=q=0$, má původní kubika jeden reálný kořen (trojnásobný) $x_{1,2,3}=\sqrt[3]{-d}$. Pro případ s dvojnásobným kořenem vypočítáme kořeny upravené kubiky $t_0=\frac{3q}{p}$, $t_{1,2}=\frac{-3q}{2p}$.

V tomto případě jsou koeficienty obecné kubiky: $a=I_0=1$, $b=-I_1=-30$, $c=I_2=-5300$, $d=-I_3=174000$.

Koeficienty upravené kubiky:

$$\begin{array}{rl}p& =\frac{3ac-b^2}{3a^2}=\frac{3\cdot (-5300)-(-30{)}^2}{3}=-5600\\ q& =\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}=\frac{2\cdot (-30{)}^3-9\cdot (-30)\cdot (-5300)+27\cdot (174000)}{27}=119000\end{array}$$

Determinant upravené kubiky:

$$D_t=-(4p^3+27q^2)=-(4\cdot (-5600{)}^3+27\cdot (119000{)}^2)=320117000000$$

Platí $D_t>0$, můžeme počítat kořeny upravené kubiky a posléze kořeny původní charakteristické rovnice.

$$\begin{array}{rl}{t}_0& =2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)]\\ & =2\sqrt{-\frac{(-5600)}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\cdot (119000)}{2\cdot (-5600)}\sqrt{\frac{-3}{(-5600)}}\right)]\\ & =60.191\\ t_1& =2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-\frac{2\pi }{3}]\\ & =2\sqrt{-\frac{(-5600)}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\cdot (119000)}{2\cdot (-5600)}\sqrt{\frac{-3}{(-5600)}}\right)-\frac{2\pi }{3}]\\ & =23.596\\ t_2& =2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-\frac{4\pi }{3}]\\ & =2\sqrt{-\frac{(-5600)}{3}}\cos [\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3\cdot (119000)}{2\cdot (-5600)}\sqrt{\frac{-3}{(-5600)}}\right)-\frac{4\pi }{3}]\\ & =-83.787\\ {\sigma }_1& =x_0=t_0-\frac{b}{3a}=60.191-\frac{-30}{3}=70.191\mathrm{MPa}\\ {\sigma }_2& =x_0=t_1-\frac{b}{3a}=23.596-\frac{-30}{3}=33.596\mathrm{MPa}\\ {\sigma }_3& =x_0=t_2-\frac{b}{3a}=-83.787-\frac{-30}{3}=-73.787\mathrm{MPa}\end{array}$$

Výsledkem výpočtu jsou hlavní napětí ${\sigma }_1=70.191\mathrm{MPa}$, ${\sigma }_2=33.596\mathrm{MPa}$, ${\sigma }_3=-73.787\mathrm{MPa}$.

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{T}}_{\sigma }:\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_z& {\tau }_y\\ {\tau }_z& {\sigma }_y& {\tau }_x\\ {\tau }_y& {\tau }_x& {\sigma }_z\end{array}\right]& ⟶\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc}60& -30& 0\\ -30& -50& 40\\ 0& 40& 20\end{array}\right]& ⟶\left[\begin{array}{ccc}70.191& 0& 0\\ 0& 33.596& 0\\ 0& 0& -73.787\end{array}\right]\end{array}$$

Hlavní napětí jako obyčejný text pro zkopírování: 70.191, 33.596, -73.787.

Kontrola hlavních napětí pomocí invariant tenzoru. Musí platit $I_1=I_1^{\prime }$, $I_2=I_2^{\prime }$, $I_3=I_3^{\prime }$. Kvůli zaokrouhlování během výpočtu se skutečné invarianty budou lehce lišit.

$$\begin{array}{rl}{I}_1^{\prime }& ={\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3=(70.191)+(33.596)+(-73.787)=30\\ I_2^{\prime }& ={\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_1{\sigma }_3\\ & =(70.191)\cdot (33.596)+(33.596)\cdot (-73.787)+(70.191)\cdot (-73.787)\\ & =-5299.995\\ I_3^{\prime }& ={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=(70.191)\cdot (33.596)\cdot (-73.787)=-173999.843\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{I}_1& \approx I_1^{\prime }\\ 30& \approx 30\\ I_2& \approx I_2^{\prime }\\ -5300& \approx -5299.995\\ I_3& \approx I_3^{\prime }\\ -174000& \approx -173999.843\end{array}$$

Pro určení úhlů hlavních rovin musíme vyřešit následující soustavu nelineárních rovnic, kde první tři lineární rovnice jsou lineárně závislé.

$$\begin{array}{rl}({\sigma }_x-{\sigma }_i)\cos {\alpha }_i+{\tau }_z\cos {\beta }_i+{\tau }_y\cos {\gamma }_i& =0\\ {\tau }_z\cos {\alpha }_i+({\sigma }_y-{\sigma }_i)\cos {\beta }_i+{\tau }_x\cos {\gamma }_i& =0\\ {\tau }_y\cos {\alpha }_i+{\tau }_x\cos {\beta }_i+({\sigma }_z-{\sigma }_i)\cos {\gamma }_i& =0\\ {\cos }^2{\alpha }_i+{\cos }^2{\beta }_i+{\cos }^2{\gamma }_i& =1\end{array}$$

Abychom pro výpočet nemuseli vybírat dvě lineárně nezávislé rovnice z prvních třech rovnic, sečteme první dvě rovnice a budeme řešit následující soustavu. Pro zjednodušení problému zavedeme $A={\sigma }_x-{\sigma }_i+{\tau }_z$, $B={\tau }_z+{\sigma }_y-{\sigma }_i$, $C={\tau }_y+{\tau }_x$, $D={\tau }_y$, $E={\tau }_x$, $F={\sigma }_z-{\sigma }_i$.

$$\begin{array}{rl}A\cos {\alpha }_i+B\cos {\beta }_i+C\cos {\gamma }_i& =0\\ D\cos {\alpha }_i+E\cos {\beta }_i+F\cos {\gamma }_i& =0\\ {\cos }^2{\alpha }_i+{\cos }^2{\beta }_i+{\cos }^2{\gamma }_i& =1\end{array}$$

Pro tuto soustavu lze nalézt obecné řešení:

$$\begin{array}{c}x=(B^2+A^2)F^2+(-2BCE-2ACD)F+(C^2+A^2)E^2-2ABDE+(C^2+B^2)D^2\\ \begin{array}{ccc}\cos {\alpha }_i=\pm \frac{BF-CE}{\sqrt{x}}& \cos {\beta }_i=\mp \frac{AF-CD}{\sqrt{x}}& \cos {\gamma }_i=\pm \frac{AE-BD}{\sqrt{x}}\end{array}\end{array}$$

Určení hlavních rovin pro první hlavní napětí:

$$\begin{array}{rl}A& ={\sigma }_x-{\sigma }_1+{\tau }_z=60-(70.191)+(-30)=-40.191\\ B& ={\tau }_z+{\sigma }_y-{\sigma }_1=-30+(-50)-(70.191)=-150.191\\ C& ={\tau }_y+{\tau }_x=0+(40)=40\\ D& ={\tau }_y=0\\ E& ={\tau }_x=40\\ F& ={\sigma }_z-{\sigma }_1=20-(70.191)=-50.191\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}x& =(B^2+A^2)F^2+(-2BCE-2ACD)F+(C^2+A^2)E^2-2ABDE+(C^2+B^2)D^2\\ & =[{(-150.191)}^2+{(-40.191)}^2]\cdot {(-50.191)}^2\\ & +[-2\cdot (-150.191)\cdot (40)\cdot (40)-2\cdot (-40.191)\cdot (40)\cdot (0)]\cdot (-50.191)\\ & +[{(40)}^2+{(-40.191)}^2]\cdot {(40)}^2\\ & -2\cdot (-40.191)\cdot (-150.191)\cdot (0)\cdot (40)\\ & +[{(40)}^2+{(-150.191)}^2]\cdot {(0)}^2\\ & =41916361.549527\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos {\alpha }_1& =\pm \frac{BF-CE}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-150.191)\cdot (-50.191)-(40)\cdot (40)}{\sqrt{41916361.549527}}=\pm (0.917203)\\ \cos {\beta }_1& =\pm \frac{AF-CD}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-40.191)\cdot (-50.191)-(40)\cdot (0)}{\sqrt{41916361.549527}}=\pm (-0.311575)\\ \cos {\gamma }_1& =\pm \frac{AE-BD}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-40.191)\cdot (40)-(-150.191)\cdot (0)}{\sqrt{41916361.549527}}=\pm (-0.248312)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1^{+}& =\arccos (+(0.917203))=\pm {23.479}^{\circ }\\ {\alpha }_1^{-}& =\arccos (-(0.917203))=\pm {156.521}^{\circ }\\ {\beta }_1^{+}& =\arccos (+(-0.311575))=\pm {108.154}^{\circ }\\ {\beta }_1^{-}& =\arccos (-(-0.311575))=\pm {71.846}^{\circ }\\ {\gamma }_1^{+}& =\arccos (+(-0.248312))=\pm {104.378}^{\circ }\\ {\gamma }_1^{-}& =\arccos (-(-0.248312))=\pm {75.622}^{\circ }\end{array}$$

Úhly a cosiny uhlů hlavní roviny prvního hlavního napětí jako obyčejný text pro zkopírování:

Určení hlavních rovin pro druhé hlavní napětí:

$$\begin{array}{rl}A& ={\sigma }_x-{\sigma }_2+{\tau }_z=60-(33.596)+(-30)=-3.596\\ B& ={\tau }_z+{\sigma }_y-{\sigma }_2=-30+(-50)-(33.596)=-113.596\\ C& ={\tau }_y+{\tau }_x=0+(40)=40\\ D& ={\tau }_y=0\\ E& ={\tau }_x=40\\ F& ={\sigma }_z-{\sigma }_2=20-(33.596)=-13.596\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}x& =(B^2+A^2)F^2+(-2BCE-2ACD)F+(C^2+A^2)E^2-2ABDE+(C^2+B^2)D^2\\ & =[{(-113.596)}^2+{(-3.596)}^2]\cdot {(-13.596)}^2\\ & +[-2\cdot (-113.596)\cdot (40)\cdot (40)-2\cdot (-3.596)\cdot (40)\cdot (0)]\cdot (-13.596)\\ & +[{(40)}^2+{(-3.596)}^2]\cdot {(40)}^2\\ & -2\cdot (-3.596)\cdot (-113.596)\cdot (0)\cdot (40)\\ & +[{(40)}^2+{(-113.596)}^2]\cdot {(0)}^2\\ & =26165.964006\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos {\alpha }_2& =\pm \frac{BF-CE}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-113.596)\cdot (-13.596)-(40)\cdot (40)}{\sqrt{26165.964006}}=\pm (-0.343405)\\ \cos {\beta }_2& =\pm \frac{AF-CD}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-3.596)\cdot (-13.596)-(40)\cdot (0)}{\sqrt{26165.964006}}=\pm (-0.302247)\\ \cos {\gamma }_2& =\pm \frac{AE-BD}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-3.596)\cdot (40)-(-113.596)\cdot (0)}{\sqrt{26165.964006}}=\pm (-0.889224)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_2^{+}& =\arccos (+(-0.343405))=\pm {110.084}^{\circ }\\ {\alpha }_2^{-}& =\arccos (-(-0.343405))=\pm {69.916}^{\circ }\\ {\beta }_2^{+}& =\arccos (+(-0.302247))=\pm {107.593}^{\circ }\\ {\beta }_2^{-}& =\arccos (-(-0.302247))=\pm {72.407}^{\circ }\\ {\gamma }_2^{+}& =\arccos (+(-0.889224))=\pm {152.776}^{\circ }\\ {\gamma }_2^{-}& =\arccos (-(-0.889224))=\pm {27.224}^{\circ }\end{array}$$

Úhly a cosiny uhlů hlavní roviny druhého hlavního napětí jako obyčejný text pro zkopírování:

Určení hlavních rovin pro třetí hlavní napětí:

$$\begin{array}{rl}A& ={\sigma }_x-{\sigma }_3+{\tau }_z=60-(-73.787)+(-30)=103.787\\ B& ={\tau }_z+{\sigma }_y-{\sigma }_3=-30+(-50)-(-73.787)=-6.213\\ C& ={\tau }_y+{\tau }_x=0+(40)=40\\ D& ={\tau }_y=0\\ E& ={\tau }_x=40\\ F& ={\sigma }_z-{\sigma }_3=20-(-73.787)=93.787\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}x& =(B^2+A^2)F^2+(-2BCE-2ACD)F+(C^2+A^2)E^2-2ABDE+(C^2+B^2)D^2\\ & =[{(-6.213)}^2+{(103.787)}^2]\cdot {(93.787)}^2\\ & +[-2\cdot (-6.213)\cdot (40)\cdot (40)-2\cdot (103.787)\cdot (40)\cdot (0)]\cdot (93.787)\\ & +[{(40)}^2+{(103.787)}^2]\cdot {(40)}^2\\ & -2\cdot (103.787)\cdot (-6.213)\cdot (0)\cdot (40)\\ & +[{(40)}^2+{(-6.213)}^2]\cdot {(0)}^2\\ & =116747211.332407\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos {\alpha }_3& =\pm \frac{BF-CE}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(-6.213)\cdot (93.787)-(40)\cdot (40)}{\sqrt{116747211.332407}}=\pm (-0.202009)\\ \cos {\beta }_3& =\pm \frac{AF-CD}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(103.787)\cdot (93.787)-(40)\cdot (0)}{\sqrt{116747211.332407}}=\pm (-0.90087)\\ \cos {\gamma }_3& =\pm \frac{AE-BD}{\sqrt{x}}=\pm \frac{(103.787)\cdot (40)-(-6.213)\cdot (0)}{\sqrt{116747211.332407}}=\pm (0.38422)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_3^{+}& =\arccos (+(-0.202009))=\pm {101.654}^{\circ }\\ {\alpha }_3^{-}& =\arccos (-(-0.202009))=\pm {78.346}^{\circ }\\ {\beta }_3^{+}& =\arccos (+(-0.90087))=\pm {154.273}^{\circ }\\ {\beta }_3^{-}& =\arccos (-(-0.90087))=\pm {25.727}^{\circ }\\ {\gamma }_3^{+}& =\arccos (+(0.38422))=\pm {67.405}^{\circ }\\ {\gamma }_3^{-}& =\arccos (-(0.38422))=\pm {112.595}^{\circ }\end{array}$$

Úhly a cosiny uhlů hlavní roviny třetího hlavního napětí jako obyčejný text pro zkopírování:

Výsledkem výpočtů je souhrnná tabulka obsahující hlavní napětí a pro ně vypočítané úhly hlavních rovin.

$$\begin{array}{|cccccccc|}\hline i& {\sigma }_i[\mathrm{MPa}]& \cos {\alpha }_i[-]& {\alpha }_i[{}^{\circ }]& \cos {\beta }_i[-]& {\beta }_i[{}^{\circ }]& \cos {\gamma }_i[-]& {\gamma }_i[{}^{\circ }]\\ 1.& 70.191& \pm (0.917203)& \pm 23.479,\pm 156.521& \pm (-0.311575)& \pm 108.154,\pm 71.846& \pm (-0.248312)& \pm 104.378,\pm 75.622\\ 2.& 33.596& \pm (-0.343405)& \pm 110.084,\pm 69.916& \pm (-0.302247)& \pm 107.593,\pm 72.407& \pm (-0.889224)& \pm 152.776,\pm 27.224\\ 3.& -73.787& \pm (-0.202009)& \pm 101.654,\pm 78.346& \pm (-0.90087)& \pm 154.273,\pm 25.727& \pm (0.38422)& \pm 67.405,\pm 112.595\\ \hline\end{array}$$