PGR 2023/24

Počítačová grafika
2023/24

Mgr. Marta Hlavová

marta.hlavova@fs.cvut.cz
konzultace: čtvrtek 12:30-14:00, KN:D-304

informace o předmětu → mat.fs.cvut.cz + Moodle

obsah přednášek a cvičení
podrobný harmonogram přednášek a cvičení
literatura:

Linkeová, I.: Základy počítačového modelování křivek a ploch

klasifikovaný zápočet (dvě povinné plus jedna povinně volitelná práce,
odevzdávání v Moodle)

Počítačová grafika 2023/24

Křivka

podle hlediska:

fyzika $\rightarrow$ dráha bodu
geometrie $\rightarrow$ množina bodů dané vlastnosti - průnik, řez, ...
matematika $\rightarrow$ spojité zobrazení intervalu do roviny či prostoru
počítačová grafika $\rightarrow$ objekt generovaný řídícími/definičními body

Definice:
Křivka $=$ každá souvislá podmnožina $k$ prostoru $\mathbb{R}^n$, která je spojitým zobrazením intervalu $I\subset\mathbb{R}$.

Křivka - analytická reprezentace

explicitní $$y=\pm\sqrt{1-x^2}; x\in [-1,1]$$
implicitní $$x^2+y^2=1$$
parametrické $$x(t)=\cos{t},y(t)=\sin{t}; t\in [0,2\pi]$$
- bodová rovnice $$P(t)=[x(t),y(t)]; t\in I$$
- vektorová rovnice $$P(t)=(x(t),y(t)); t\in I$$

Křivka - analytická reprezentace

typ rovnice:

transcendentní
algebraická (polynomiální)

$$x(t)=\frac{1-t^2}{t^2+1}, y(t)=\frac{2t}{t^2+1}, t\in\mathbb{R}$$

Křivky v počítačovém modelování

interpolační

Fergusonova (Hermitova) kubika, spline křivky

Křivky v počítačovém modelování

aproximační

Bézierova křivka, Coonsova kubika, B-spline křivky, NURBS

interpolační vs. aproximační

Základní pojmy

segment, uzel
uniformní parametrizace
tečný vektor
regulární (singulární) bod
inflexní bod

Bézierova křivka n-tého stupně

Pierre Étienne Bézier (1910-1999), Renault
Paul de Faget de Casteljau (*1930), Citroën
Сергeй Натaнович Бернштeйн (Sergei Bernstein) (1880-1968)

Bézierova křivka n-tého stupně

aproximační jednosegmentová křivka
uniformní parametrizace
řídící polygon křivky, konvexní obal
lineární kombinace bodů řídícího polygonu

Rovnice Bézierovy křivky

řídící polygon $V_0, V_1,\dots,V_n$

$\Downarrow$

vektorová rovnice křivky

$$P(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)V_i,\ t\in[0,1]$$

kde $$B_{i,n}(t)=\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i},\ i=0,1,\dots,n$$
jsou tzv. Bernsteinovy polynomy

Bernsteinovy polynomy

odvození 1

lineární kombinace bodů

$$P(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)V_i\ \ \text{je bod}\ \Leftrightarrow \sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)=1$$
$$1=1^n=(1-t+t)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^i$$
$$B_{i,n}(t)=\binom{n}{i}t^i(1-t)^{n-i}$$

odvození 2

lineární interpolace

odvození 2

Bézierova křivka prvního stupně (lineární)

řídící polygon $V_0,V_1$

1) úsečka mezi dvěma řídicími body $V_0, V_1$

$$P(t)=V_0+t\vec{V_0V_1}=V_0+t(V_1-V_0),\ t\in[0,1]$$

2) nebo vzorec

$$P(t)=B_{0,1}(t)V_0+B_{1,1}(t)V_1,\ t\in[0,1]$$

$B_{0,1}=\binom{1}{0}t^0(1-t)^{1-0}=1-t$
$B_{1,1}=\binom{1}{1}t^1(1-t)^{1-1}=t$

$$P(t)=(1-t)V_0+tV_1,\ t\in[0,1]$$

Bézierova křivka druhého stupně (kvadratická)

řídící body $V_0,V_1,V_2$

úsečka mezi $V_0,V_1$ $\Rightarrow P_1(t)=(1-t)V_0+ tV_1,\ t\in[0,1]$

úsečka mezi $V_1,V_2 \Rightarrow P_2(t)=(1-t)V_1+ tV_2,\ t\in[0,1]$

úsečka mezi $P_1(t),P_2(t) \Rightarrow Q(t)=(1-t)P_1(t)+ tP_2(t),\ t\in[0,1]$

$$Q(t)=(1-t)^2V_0+2t(1-t)V_1+t^2V_2,\ t\in[0,1]$$

tedy vzorec

$$Q(t)=B_{0,2}(t)V_0+B_{1,2}(t)V_1+B_{2,2}(t)V_2,\ t\in[0,1]$$

kde

$B_{0,2}=\binom{2}{0}t^0(1-t)^{2-0}=(1-t)^2$
$B_{1,2}=\binom{2}{1}t^1(1-t)^{2-1}=2t(1-t)$
$B_{2,2}=\binom{2}{2}t^2(1-t)^{2-2}=t^2$

Bézierova křivka třetího stupně (kubická)

řídící body $V_0,V_1,V_2,V_3$

postupně přes úsečky $\ldots\Rightarrow$ vzorec

$$P(t)=B_{0,3}(t)V_0+B_{1,3}(t)V_1+B_{2,3}(t)V_2+B_{3,3}(t)V_3,\ t\in[0,1]$$

kde

$B_{0,3}=\binom{3}{0}t^0(1-t)^{3-0}=(1-t)^3$
$B_{1,3}=\binom{3}{1}t^1(1-t)^{3-1}=3t(1-t)^2$
$B_{2,3}=\binom{3}{2}t^2(1-t)^{3-2}=3t^2(1-t)$
$B_{3,3}=\binom{3}{3}t^3(1-t)^{3-3}=t^3$

Vlastnosti Bézierových křivek

Bod křivky - počáteční a koncový

$$P(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)V_i,\ t\in[0,1]$$

počáteční bod křivky $\iff t=0$
koncový bod křivky $\iff t=1$

Bernsteinovy polynomy - přehled

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
$B_{0,n}$	$1-t$	$(1-t)^2$	$(1-t)^3$	$(1-t)^4$	$\ldots$
$B_{1,n}$	$t$	$2t(1-t)$	$3t(1-t)^2$	$4t(1-t)^3$	$\ldots$
$B_{2,n}$	$\times$	$t^2$	$3t^2(1-t)$	$6t^2(1-t)^2$	$\ldots$
$B_{3,n}$	$\times$	$\times$	$t^3$	$4t^3(1-t)$	$\ldots$
$B_{4,n}$	$\times$	$\times$	$\times$	$t^4$	$\ldots$
$\ldots$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\ldots$

Bernsteinovy polynomy - průběhy

$\Rightarrow$ počáteční bod $P(0)=V_0$
$\Rightarrow$ koncový bod $P(1)=V_n$

Tečný vektor křivky - počáteční a koncový

$$P'(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}'(t)V_i,\ t\in[0,1]$$

počáteční tečný vektor $\iff t=0$
koncový tečný vektor $\iff t=1$

lineární Bézierova křivka

$i$	$B_{i,1}(t)$	$B_{i,1}'(t)$	$B_{i,1}'(0)$	$B_{i,1}'(1)$
$0$	$1-t$	$-1$	$-1$	$-1$
$1$	$\phantom{1-}t$	$\phantom{-}1$	$\phantom{-}1$	$\phantom{-}1$

$$P'(0)=-V_0+V_1=\vec{V_0V_1}$$ $$P'(1)=-V_0+V_1=\vec{V_0V_1}$$

kvadratická Bézierova křivka

$i$	$B_{i,2}(t)$	$B_{i,2}'(t)$	$B_{i,2}'(0)$	$B_{i,2}'(1)$
$0$	$(1-t)^2$	$-2(1-t)$	$-2$	$\phantom{-}0$
$1$	$2t(1-t)$	$2(1-t)-2t$	$\phantom{-}2$	$-2$
$2$	$\phantom{-}t^2$	$\phantom{-}2t$	$\phantom{-}0$	$\phantom{-}2$

$$P'(0)=-2V_0+2V_1=2\vec{V_0V_1}$$ $$P'(1)=-2V_1+2V_2=2\vec{V_1V_2}$$

kubická Bézierova křivka

$i$	$B_{i,3}(t)$	$B_{i,3}'(t)$	$B_{i,3}'(0)$	$B_{i,3}'(1)$
$0$	$(1-t)^3$	$-3(1-t)^2$	$-3$	$\phantom{-}0$
$1$	$3t(1-t)^2$	$3(1-t)^2-6t(1-t)$	$\phantom{-}3$	$\phantom{-}0$
$2$	$3t^2(1-t)$	$6t(1-t)-3t^2$	$\phantom{-}0$	$-3$
$3$	$\phantom{-}t^3$	$\phantom{-}3t^2$	$\phantom{-}0$	$\phantom{-}3$

$$P'(0)=-3V_0+3V_1=3\vec{V_0V_1}$$ $$P'(1)=-3V_2+3V_3=3\vec{V_2V_3}$$

Bézierova křivka n-tého stupně

$P'(0)=n\vec{V_0V_1}$
$P'(1)=n\vec{V_{n-1}V_{n}}$
$P(0)=V_1$
$P(1)=V_n$

de Casteljau algoritmus

lineární křivka

de Casteljau algoritmus

kvadratická křivka

de Casteljau algoritmus

kubická křivka

de Casteljau algoritmus

křivka 4. stupně

de Casteljau algoritmus

$$P'(t_0)=n\vec{MN}$$

Napojování křivek

spojitost geometrická - $G^n$
spojitost parametrická - $C^n$

Geometrická spojitost napojení 2 křivek

$G^0 \iff$ společný bod
$G^1 \iff G^0 + $stejná tečna ve společném bodě
$G^2 \iff G^1 +$ stejná křivost ve společném bodě

Parametrická spojitost napojení 2 křivek

Pro dvě uniformní křivky $P(t)$ a $Q(s)$:

$C^0 \iff P(1)=Q(0)$
$C^1 \iff C^0 \land P'(1)=Q'(0)$
$C^2 \iff C^1 \land P''(1)=Q''(0)$
...

spojitost parametrická $\Rightarrow$ spojitost geometrická

Počítačová grafika2023/24

Mgr. Marta Hlavová

informace o předmětu → mat.fs.cvut.cz + Moodle

Rhinoceros 3d - verze 7

Počítačová grafika 2023/24

Křivka

Křivka - analytická reprezentace

Křivka - analytická reprezentace

Křivky v počítačovém modelování

Křivky v počítačovém modelování

Základní pojmy

Bézierova křivka n-tého stupně

Bézierova křivka n-tého stupně

Rovnice Bézierovy křivky

Bernsteinovy polynomy

odvození 1

odvození 2

odvození 2

odvození 2

Bézierova křivka prvního stupně (lineární)

Bézierova křivka druhého stupně (kvadratická)

Bézierova křivka třetího stupně (kubická)

Vlastnosti Bézierových křivek

Bod křivky - počáteční a koncový

Bernsteinovy polynomy - přehled

Bernsteinovy polynomy - průběhy

Tečný vektor křivky - počáteční a koncový

lineární Bézierova křivka

kvadratická Bézierova křivka

kubická Bézierova křivka

Bézierova křivka n-tého stupně

de Casteljau algoritmus

de Casteljau algoritmus

de Casteljau algoritmus

de Casteljau algoritmus

de Casteljau algoritmus

de Casteljau algoritmus

Napojování křivek

Geometrická spojitost napojení 2 křivek

Parametrická spojitost napojení 2 křivek

Příště: Napojování křivek, Coonsova kubika, Fergusonova kubika

Počítačová grafika
2023/24

Příště:

Napojování křivek, Coonsova kubika, Fergusonova kubika