$G^0 \iff$ společný bod
$G^1 \iff G^0 + $stejná tečna ve společném bodě
$G^2 \iff G^1 +$ stejná křivost ve společném bodě
$G^3 \iff G^2 + $stejná tečna grafu křivosti ve společném bodě

Pro dvě uniformní křivky $P(t)$ a $Q(s)$:

$C^0 \iff P(1)=Q(0)$
$C^1 \iff C^0 \land P'(1)=Q'(0)$
$C^2 \iff C^1 \land P''(1)=Q''(0)$
...

spojitost parametrická $\Rightarrow$ spojitost geometrická

Křivka $P(t)$: řídící polygon $V_i, i=0,1,2,3$

Křivka $Q(s)$: řídící polygon $U_i, i=0,1,2,3$

Odvození podmínek pro umístění řídících bodů $U_i$, tak aby napojení bylo $C^0, C^1, \dots$

	$t=0$	$t=1$
$B_{0,n}(t)=(1-t)^3$	$1$	$0$
$B_{1,n}(t)=3t(1-t)^2$	$0$	$0$
$B_{2,n}(t)=3t^2(1-t)$	$0$	$0$
$B_{3,n}(t)=t^3$	$0$	$1$

$$P(1)=Q(0) \Rightarrow \color{blue}{U_0=V_3}$$

	$t=0$	$t=1$
$B'_{0,n}(t)=3(1-t)^2$	$-3$	$\phantom{-}0$
$B'_{1,n}(t)=3(1-t)(1-3t)$	$\phantom{-}3$	$\phantom{-}0$
$B'_{2,n}(t)=3t(2-3t)$	$\phantom{-}0$	$-3$
$B'_{3,n}(t)=3t^2$	$\phantom{-}0$	$\phantom{-}3$

$C^0 \land P'(1)=Q'(0)$

$V_3-V_2 = U_1-U_0 \Rightarrow \color{blue}{U_1=U_0+\vec{V_2V_3}}$

	$t=0$	$t=1$
$B''_{0,n}(t)=6(1-t)$	$\phantom{-1}6$	$\phantom{-1}0$
$B''_{1,n}(t)=3(6t-4)$	$-12$	$\phantom{-1}6$
$B''_{2,n}(t)=-3(6t-2)$	$\phantom{-1}6$	$-12$
$B''_{3,n}(t)=6t$	$\phantom{-1}0$	$\phantom{-1}6$

$C^1 \land P''(1)=Q''(0)$

$6V_1-12V_2+6V_3=6U_0-12U_1+6U_2 \Rightarrow \color{blue}{U_2=V_1+4\vec{V_2V_3}}$

	$t=0$	$t=1$
$B'''_{0,n}(t)=-6$	$-\phantom{1}6$	$-\phantom{1}6$
$B'''_{1,n}(t)=18$	$\phantom{-}18$	$\phantom{-}18$
$B'''_{2,n}(t)=-18$	$-18$	$-18$
$B'''_{3,n}(t)=6$	$\phantom{-1}6$	$\phantom{-1}6$

nebo

nebo

nebo $\dots$

Křivka $P(t)$: řídící polygon $V_i, i=0,1,2,3$

Křivka $Q(s)$: řídící polygon $U_i, i=0,1,\dots$

Odvození podmínek pro umístění řídících bodů $U_i$, tak aby napojení bylo $C^0, C^1,\dots$

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$
$B_{0,n}$	$1-t$	$(1-t)^2$	$(1-t)^3$	$(1-t)^4$
$B_{1,n}$	$t$	$2t(1-t)$	$3t(1-t)^2$	$4t(1-t)^3$
$B_{2,n}$	$\times$	$t^2$	$3t^2(1-t)$	$6t^2(1-t)^2$
$B_{3,n}$	$\times$	$\times$	$t^3$	$4t^3(1-t)$
$B_{4,n}$	$\times$	$\times$	$\times$	$t^4$

Massachusetts Institute of Technology (MIT)

aproximační křivka 3. stupně daná 4 řídicími body $P_0, P_1, P_2, P_3$

vektorová rovnice:

Coonsovy polynomy

$C_0(t)=\frac{1}{6}(1-t)^3$
$C_1(t)=\frac{1}{6}(3t^3-6t^2+4)$
$C_2(t)=\frac{1}{6}(-3t^3+3t^2+3t+1)$
$C_3(t)=\frac{1}{6}t^3$

derivace Coonsových polynomů:

$C'_0(t)=-\frac{1}{2}(1-t)^2$
$C'_1(t)=\frac{1}{2}(3t^2-4t)$
$C'_2(t)=\frac{1}{2}(-3t^2+2t+1)$
$C'_3(t)=\frac{1}{2}t$

řídicí polygon $P_0,P_1,P_2,P_3$ Coonsovy kubiky $\mathscr{P}(t)$

řídicí polygon $R_0,R_1,R_2,R_3$ Coonsovy kubiky $\mathscr{R}(s)$

$C^0 \iff \frac{1}{6}P_1 + \frac{2}{3}P_2 + \frac{1}{6}P_3 = \frac{1}{6}R_0 + \frac{2}{3}R_1 + \frac{1}{6}R_2$

$C^1 \iff C^0 \land -\frac{1}{2}P_1+\frac{1}{2}P_3=-\frac{1}{2}R_0+\frac{1}{2}R_2$

$C^2 \iff C^1 \land P_1-2P_2+P_3=R_0-2R_1+R_2$

soustava 3 rovnic pro neznámé $R_0,R_1,R_2$ $\Rightarrow$ jediné řešení $R_0=P_1$, $R_1=P_2$, $R_2=P_3$

- aproximační vícesegmentová křivka třetího stupně, jejíž segmenty jsou Coonsovy kubiky napojené s $C^2$ spojitostí

v terminologii NURBS $\Rightarrow$ Uniformní neRacionální B-Spline 3. stupně

Dáno: $P_0, P_1, ..., P_n$

jednotlivé segmenty $k_i$ jsou Coonsovy kubiky s řídicími polygony:

$k_1 : (P_0P_1P_2P_3)$

$k_1 : (P_1P_2P_3P_4)$

$\dots$

$k_{n-3} : (P_{n-3}P_{n-2}P_{n-1}P_n)$

počet segmentů: $n-2$